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기본 개념

양자정보과학, 나아가 양자역학을 이해하기 위해선 선형대수학의 벡터vector^{\textsf{vector}}, 행렬matrix^{\textsf{matrix}}에 관한 지식과 이에 적용되는 연산operator^{\textsf{operator}}들에 대해 이해가 필요합니다. 예시로 이 문서의 양자 관련 모든 부분에서 힐베르트 공간Hilbert space^{\textsf{Hilbert space}}에 대한 상세한 정의를 포함하지 않아요. 복소수 집합을 C\mathbb{C}로 표현합니다. 이는 모두 힐베르트 공간의 양자역학적 표현이기 때문입니다. 실수는 R\mathbb{R} 공간에 존재하고, 복소수는 C\mathbb{C}로 표현할게요.

또한 우리는 양자역학의 불확정성 원리uncertainty principle^{\textsf{uncertainty principle}}같은 기본적인 특성에 대해 논의하지 않을 겁니다. 이는 개별 원자가 어느 한 부분으로 이동한다고 할 때, 그 위치를 알면 운동량을 알 수 없고, 반대로 운동량을 알면 위치를 알 수 없는 신비로운 특성입니다.

여러분이 고전계에서 이루어지는 정보 처리 방식에 태반을 알고 있다면 이해하기 쉬울거라 생각됩니다. 양자계quantum system^{\textsf{quantum system}}는 00과 11이라는 이진수가 중첩된 형태로 정보를 처리하며, 현대의 기술로 이를 읽어내려면 고전계classical system^{\textsf{classical system}} 방식으로 접근해야 해요. 따라서 우리가 논의하는 방향은 입력이 양자계이고, 출력이 고전계입니다.

기초 확률론​

기초 확률론은 양자 컴퓨팅과 그 보안을 이해하는 데 있어 필수적입니다. 왜냐하면 양자 이론에서 측정 가능한 결과를 예측하는 데는 확률론이 무지막지하게 사용되기 때문입니다.

어떤 사건 xix_i에 대한 확률 값 pip_i는 0≤pi≤10 \le p_i \le 1을 만족해요. 이 범위 값의 양극단에 대한 의미는 간단합니다. 불가능한 사건의 확률은 00이예요. 그리고 일어날 것이 분명한 사건의 확률은 11입니다. 다른 모든 사건의 확률 값은 이 범위 안에 속해요.

어떤 사건의 확률은 간단히 말해 사건의 상대적 출현 빈도라고 할 수 있습니다. 총 nn번의 사건이 있고 jj번 사건이 njn_j번 일어났다고 가정한다면 ∑j=1∞nj=n\sum_{j=1}^\infty n_j = n이 성립하고, jj번째 사건이 발생할 확률은 다음과 같아요.

pj=njnp_j = \frac{n_j}{n}

다시 한 번 강조하지만, 양자역학과 양자 컴퓨팅을 이해하기 위해서는 선형대수학이 필수적입니다. 양자 상태, 연산, 측정 등 모든 핵심 개념은 선형대수학의 언어로 표현됩니다. 먼저 양자정보과학에 필요한 기본적인 개념들에 대해 알아봅시다.

양자정보과학​

우리가 오늘날 사용하는 멋진 컴퓨터는 비트bit^{\textsf{bit}}라는 정보의 척도를 가지죠. 이 클로드 섀넌Claude Shannon^{\textsf{Claude Shannon}}의 멋진 정의는 일관된 모든 것의 기반으로 동작합니다. 단순하게 비트는 마치 전등 스위치와 같아서 켜짐(1) 또는 꺼짐(0)이라는 두 가지 명확한 상태 중 하나만을 가집니다.

컴퓨터 과학과 공학은 이 단순한 원칙을 바탕으로 눈부신 발전을 이루었지만, 현실의 모든 문제를 효율적으로 해결하진 못 합니다. 특히 신약 개발을 위한 분자 구조 시뮬레이션이나, 초거대 데이터 속에서 최적의 해를 찾는 문제는 현존하는 가장 빠른 슈퍼 컴퓨터로도 풀기 어려운 영역으로 남아있어요.

양자정보과학quantum information science^{\textsf{quantum information science}}은 바로 이 한계를 넘어서기 위해 등장한 새로운 패러다임입니다. 이 녀석은 컴퓨터 과학을 '미시 세계를 지배하는 양자역학의 원리'위에 다시 새우려는 시도예요. 단순히 더 빠른 부품을 만드는 것이 아니라, '정보를 처리하는 규칙' 자체를 바꾸는 근본적인 혁신이라고 할 수 있죠. 컴퓨터 공학적 관점에서 이는 양자 현상을 제어하는 새로운 하드웨어를 설계하고, 그 위에서 동작할 '전례 럾는 알고리즘'을 개발하는 것을 목표로 하는 분야입니다.

큐비트와 양자 상태​

우리는 이 시점에서 한 가지 질문을 던질 수 있어요. 고전적 정보를 표현할 때는 비트를 사용한다고 헀죠. 그렇다면 '양자정보의 척도는 무엇일까요?'

영저정보는 양자 비트quantum bit^{\textsf{quantum bit}}, 또는 줄여서 큐비트qubit^{\textsf{qubit}}를 척도로 삼아요. 큐비트는 비트인 00과 11이 중첩superposition^{\textsf{superposition}}된 상태로, 측정measurement^{\textsf{measurement}} 시 둘 중 하나의 상태로 확정(관측)됩니다. 아직은 이 부분에 대해 방대하게 설명하진 않을게요. 단순히 고전 비트, 즉 크비트cbit^{\textsf{cbit}}는 다음과 같이 큐비트로 대응시킬 수 있어요.

0→∣0⟩,1→∣1⟩0 \rightarrow \ket{0}, \qquad 1 \rightarrow \ket{1}

세로 막대기와 꺽쇠 괄호만 빼면 이 표현을 켓ket^{\textsf{ket}} 이라고 표기할 수 있습니다. 이 표현은 폴 디랙Paul Dirac^{\textsf{Paul Dirac}}이 제안한 브라-켓 표기법bra-ket notation^{\textsf{bra-ket notation}}이고, 이름이 충분히 우습기 때문에 어느 학자는 큐비트, 벡터 또는 상태state^{\textsf{state}}, 아니면 이 둘을 조합한 '상태벡터' 라고도 표현해요. 이 문서는 각 표현들을 번갈아가면서 사용하지만, 상황에 맞게 적절히 사용하니 이해하는 데 문제는 없을 겁니다.

크비트가 큐비트로 대응된 결과는 계산 기저computational basis^{\textsf{computational basis}}를 가진 상태로, 양자정보이론에서 특정 상태의 확률을 결정하기 위해 사용됩니다. 직관적으로 상태 ∣0⟩\ket{0}은 00이 발견된 것이고, 상태 ∣1⟩\ket{1}은 11이 발견된 것이라고 할 수 있어요.

중첩과 측정​

임의의 큐비트 ∣ψ⟩\ket{\psi}가 중첩 상태라면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩\ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1}

여기서 계수 α\alpha와 계수 β\beta는 각각 복소수complex^{\textsf{complex}}예요.

큐비트는 ∣0⟩\ket{0}과 ∣1⟩\ket{1}의 중첩 상태에 있을 수 있지만, 측정을 할 때는 중첩 상태를 확인할 수 없습니다. 상술했듯 큐비트를 측정하면 큐비트는 ∣0⟩\ket0 상태나 ∣1⟩\ket{1} 상태 둘 중 하나로 측정돼요.

확률 진폭​

양자역학의 법칙에 따르면 각 계수 α\alpha와 β\beta는 절댓값 제곱하여 ∣0⟩\ket{0} 상태와 ∣1⟩\ket{1} 상태의 발견 확률을 구할 수 있습니다. 이를 확률 진폭probability amplitude^{\textsf{probability amplitude}}이라고 해요. 즉, ∣α∣2|\alpha|^2는 ∣ψ⟩\ket{\psi}가 ∣0⟩\ket{0} 상태에 있을 확률 확률 진폭(상태를 발견할 확률)이고, ∣β∣2|\beta|^2는 ∣ψ⟩\ket{\psi}가 ∣1⟩\ket{1} 상태에 있을 확률 진폭이예요. 이 개념에 대해서는 이후 측정에 대해 논의할 때 좀 더 자세히 알아볼게요.

선형대수학적으로 큐비트를 벡터로 표현하여 계수 α\alpha와 β\beta를 스칼라scalar^{\textsf{scalar}}라고 표현할 수 있어요.

정규화 조건​

확률 진폭의 합은 반드시 11이어야 하므로, 큐비트늬 곱 계수에는 따라야 할 제약이 있습니다. 계수의 제곱값이 측정 결과를 나타내기 떄문에 α,β\alpha, \beta는 다음의 관계를 만족해야 합니다. 이는 기초 확률론에 의거해요.

∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

이를 정규화 조건normalize rule^{\textsf{normalize rule}}이라고 하며, 학계 전문적으론 단위 노름norm^{\textsf{norm}} 제약조건이라고 하기도 합니다. 이 관계를 만족하는 큐비트는 정규화nomalized^{\textsf{nomalized}}된 큐비트라고 해요.

큐비트의 벡터 표현​

앞서 언급한 브라-켓 표기법을 사용하여 ∣ψ⟩\ket{\psi}과 같은 큐비트 상태를 만들었습니다. 이 상태는 선형대수학적으로 열벡터row vector^{\textsf{row vector}} 또는 2차원 힐베르트 공간 C2\mathbb{C}^2의 한 벡터임을 의미합니다. 위에 정의한 큐비트 ∣ψ⟩\ket{\psi}를 다음과 같이 열벡터로 표현할 수 있어요.

∣ψ⟩=[αβ]\ket{\psi} = \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\end{bmatrix}

∣0⟩\ket{0}의 계수 α\alpha는 첫째 줄에 쓰고 ∣1⟩\ket{1}의 계수 β\beta를 둘째 줄에 쓰면 열벡터 표기법이 됩니다. 이렇게 켓은 열벡터로 표현 가능함을 알았네요.

좀 더 구체적으로 설명하자면 큐비트는 C2\mathbb{C}^2, 즉 2차원 힐베르트 공간에만 포함된다고 할 수 없어요. 복합계composite system^{\textsf{composite system}}와 같이 여러 상태가 복합적으로 구성된 계를 가진 큐비트는 C2n\mathbb{C}^{2^n} 힐베르트 공간에 포함되어 있다고 말할 수 있습니다. 직관적으로 계가 복합적으로 얽히기 때문에 nn차원임이 엄밀합니다. 복합계 개념을 통해 계산 기저가 C2\mathbb{C}^2 공간, 즉 단일계single system^{\textsf{single system}}의 상태임을 이해할 수 있습니다.

켓 표현을 열벡터로 표현하는 데에는 좀 더 자유로움을 보여드릴게요. Cn\mathbb{C}^n의 원소들을 ∣a⟩,∣b⟩,∣c⟩\ket{a}, \ket{b}, \ket{c}로 간단하게 표기할 수 있습니다. 이 벡터의 원소들을 적을 때는 a1,…,ana_1, \ldots, a_n와 같은 방식으로 숫자를 나열하는 nn차원 열벡터로 간단히 표기할 수 있습니다.

∣α⟩=[a1a2⋮an]\ket{\alpha} = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}

이처럼 선형대수학적으로도 다양한 응용이 존재해요.

스칼라배​

상술했듯 벡터의 원소components 또는 elements^{\textsf{components 또는 elements}}라고 하는 숫자(예로 들어, 벡터 ∣a⟩\ket{a}의 원소 aia_i)는 C\mathbb{C} 공간의 복소수입니다. 벡터에 대한 스칼라배scalar multiplication^{\textsf{scalar multiplication}} 계산 방법은 다음과 같아요.

w∣a⟩=w[a1a2⋮an]=[wa1wa2⋮wan]w\ket{a} = w \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}wa_1 \\ wa_2 \\ \vdots \\ wa_n\end{bmatrix}

벡터 덧셈​

벡터 덧셈은 두 벡터의 원소 단위로 더하면 되고, 그 결과 새로운 벡터가 만들어집니다.

∣a⟩+∣b⟩=[a1a2⋮an]+[b1b2⋮bn]=[a1+b1a2+b2⋮an+bn]\ket{a} + \ket{b} = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n\end{bmatrix}

아주 직관적이네요!

선형 결합​

스칼라베에서 벡터간의 중요한 선형적 결합에 대해 다루었습니다. 스칼라 αi∈C\alpha_i \in \mathbb{C}에 대해, 벡터 ∣vi⟩∈Cn\ket{v_i} \in \mathbb{C}^n이라고 했을 떄 다음과 같은 형태를 벡터의 선형 결합linear combination^{\textsf{linear combination}}이라고 합니다.

α1∣v1⟩+α2∣v2⟩+⋯+αn∣vn⟩=∑i=1nαi∣vi⟩\alpha_1\ket{v_1} + \alpha_2\ket{v_2} + \cdots + \alpha_n\ket{v_n} = \sum^n_{i = 1} \alpha_i\ket{v_i}

벡터공간​

한 집합의 벡터들을 선형 결합하여 얻을 수 있는 모든 결과 벡터의 집합을 그 벡터 집합이 생성span^{\textsf{span}}한다고 말합니다. 수식으로는 벡터 집합 {∣v1⟩,…,∣vn⟩}\{\ket{v_1}, \ldots, \ket{v_n}\}에 대해, 다음과 같이 표현해요.

span{∣v1⟩,…,∣vn⟩},{∑i=1nαi∣vi⟩∣αi∈C}\mathrm{span} \{\ket{v_1}, \ldots, \ket{v_n}\}, \left\{ \sum^n_{i = 1} \alpha_i\ket{v_i} \vert \alpha_i \in \mathbb{C} \right\}

이 집합은 ∣v1⟩,…,∣vn⟩\ket{v_1}, \ldots, \ket{v_n} 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터를 포함해요. 모든 2차원 벡터는 α∣0⟩+β∣1⟩\alpha\ket{0} + \beta\ket{1} 형태로 표현 가능하여, span{∣0⟩,∣1⟩}=C2\mathrm{span}\{\ket{0}, \ket{1}\} = \mathbb{C}^2가 됩니다. 즉, {∣vi⟩}\{\ket{v_i}\}가 어떤 공간을 생성spanning^{\textsf{spanning}}한다고 하면, 그 벡터들의 선형 결합만으로 해당 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있음을 의미해요.

직관적으로, 어떤 벡터 집합 ∣v1⟩,∣v2⟩,…,∣vn⟩\ket{v_1}, \ket{v_2}, \ldots, \ket{v_n}이 주어졌을 때 이 벡터들을 이용해 벡터공간에 속한 모든 벡터 ∣v⟩\ket{v}를 표현할 수 있다면 이 집합 {∣vi⟩}\{\ket{v_i}\}가 주어진 벡터공간을 생성하는 겁니다. 예를 들어 3차원 벡터공간 C3\mathbb{C}^3를 생각해봅시다. 다음과 같은 방식으로 이 3차원 공간의 모든 열벡터를 표현할 수 있습니다.

∣u⟩=[αβγ]=[α00]+[0β0]+[00γ]=α[100]+β[010]+γ[001]\ket{u} = \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ \beta \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \gamma\end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}

따라서 다음과 같이 벡터 집합을 정의하면

∣v1⟩=[100],∣v2⟩=[010],∣v3⟩=[001]\ket{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \ket{v_2} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \ket{v_3} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}

이렇게 C3\mathbb{C}^3 공간을 생성할 수 있습니다! 따라서, C2\mathbb{C}^2 공간을 생성하는 ∣ψ⟩\ket{\psi}의 큐비트를 열벡터 표기로 바꾸고, 벡터 덧셈과 스칼라배를 적용하면 다음 식을 얻을 수 있어요.

∣ψ⟩=[αβ]=[α0]+[0β]=α[10]+β[01]\ket{\psi} = \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ \beta\end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}

이를 통해 ∣0⟩,∣1⟩\ket{0}, \ket{1} 벡터의 열벡터 표현이 다음과 같음을 알 수 있습니다.

∣0⟩=[10],∣1⟩=[01]\ket{0} = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \qquad \ket{1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}